B019481 - ANALISI MATEMATICA I

ITALIANO

1) Numeri reali; 2) Limiti e continuita' per funzioni di una variabile; 3) Calcolo Differenziale; 4) Calcolo Integrale; 5) Serie Numeriche; 6) Equazioni Differenziali Ordinarie

C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, ed. Zanichelli, 2015
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 1, ed. Zanichelli, 2011

Conoscenza teorica e pratica degli argomenti di base relativi alle funzioni reali di una variabile reale con particolare riferimento a limiti e continuita', serie numeriche, calcolo differenziale e integrale, equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine.

1) Aritmetica ed algebra. Proprietà e operazioni sui numeri (interi, razionali, reali). Valore assoluto. Potenze e radici. Logaritmi ed esponenziali. Calcolo letterale. Polinomi (operazioni, decomposizione in fattori). Equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado o ad esse riconducibili. Sistemi di equazioni di primo grado. Equazioni e disequazioni razionali fratte e con radicali. 2) Geometria. Segmenti ed angoli, loro misura e proprietà. Rette e piani. Luoghi geometrici notevoli. Proprietà delle principali figure geometriche piane (triangoli, circonferenze, cerchi, poligoni regolari, ecc.) e relative lunghezze ed aree. Proprietà delle principali figure geometriche solide (sfere, coni, cilindri, prismi, parallelepipedi, piramidi, ecc.) e relativi volumi ed aree della superficie. 3) Geometria analitica e funzioni numeriche. Coordinate cartesiane. Il concetto di funzione. Equazioni di rette e di semplici luoghi geometrici (circonferenze, ellissi, parabole, ecc.). Grafici e proprietà delle funzioni elementari (potenze, logaritmi, esponenziali, ecc.). Calcoli con l'uso dei logaritmi. Equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali. 4) Trigonometria. Grafici e proprietà delle funzioni seno, coseno e tangente. Le principali formule trigonometriche (addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione). Equazioni e disequazioni trigonometriche. Relazioni fra elementi di un triangolo.


Lezioni ed esercitazioni frontali

L'esame mira a verificare, attraverso esercizi con svolgimento dettagliato e domande teoriche:

- la capacità di usare in modo appropriato la terminologia della disciplina;

- la capacità di enunciare, dimostrare e applicare a esercizi specifici i principali teoremi e le definizioni fornite nel corso

.

L'esame consiste in una prova scritta pratica (o equivalentemente, due prove parziali, che si svolgono durante lo svolgimento del corso) in cui lo studente deve essere in grado di svolgere gli esercizi sul programma del corso e una prova teorica (scritta, con eventuale integrazione orale) in cui lo studente deve essere in grado di enunciare, dimostrare e applicare i principali teoremi e definizioni fornite a lezione.

1) ELEMENTI DI BASE. Numeri reali e linguaggio: numeri naturali, interi, razionali, reali, allineamenti decimali; valore assoluto e distanza; intervalli; estremo superiore (inferiore), massimo (minimo) di un insieme; proprietà di completezza dei numeri reali; notazioni insiemistiche, quantificatori, implicazioni, condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Funzioni: definizione, immagine, grafico e sue proprietà, convenzione sul dominio; restrizione di una funzione; estremo superiore (inferiore), massimo (minimo), punto di massimo (minimo); funzioni iniettive, suriettive, biunivoche; funzioni invertibili, funzioni inverse; funzioni composte e loro proprietà; grafici delle funzioni elementari; funzioni monotone, pari, dispari, periodiche; operazioni sui grafici. 



2) LIMITI E CONTINUITA'. Limiti di successioni e di funzioni: definizione, unicità del limite, permanenza del segno; teoremi di confronto; limiti di funzioni monotone; algebra dei limiti e forme indeterminate; simboli di Landau, infiniti e infinitesimi e loro ordine. Il numero e; limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali; asintoti. Continuità: definizione; esempi di funzioni discontinue; continuità delle funzioni elementari, di somma, prodotto, quoziente e della composizione; estensione per continuità; teorema degli zeri e del valore intermedio; teorema di Weierstrass. 



3) CALCOLO DIFFERENZIALE. Rapporto incrementale e suo significato geometrico e fisico. Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica. Retta tangente. Derivabilità e continuità. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, cuspidi, punti a tangente verticale. Funzione derivata e derivate di ordine superiore. Derivata delle funzioni elementari. Proprietà delle derivate: somma, prodotto, differenza, quoziente. Derivata della composizione o regola della catena. Derivata della funzione inversa e interpretazione geometrica. Teorema di Fermat, punti critici. Esistenza e calcolo degli estremi locali e globali di funzioni definite sugli intervalli. Teoremi di Rolle e Lagrange. Convessità e concavità e loro relazione con le derivate prime e seconde. Grafici delle funzioni. Teoremi di de L'Hospital. Approssimazione di Taylor e sua applicazione al calcolo dei limiti e dello studio locale delle funzioni.



4) INTEGRALI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. Il concetto di area di figure piane. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Riemann. Relazione fra integrale e area. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale. Funzioni integrali: definizione e loro continuità. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Formula fondamentale del calcolo integrale. Ricerca delle primitive: integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali (con denominatore di grado 2). Integrabilità in senso improprio e assoluta integrabilità sulla semiretta e su un intervallo. Integrale improprio degli infiniti e infinitesimi di riferimento. Criterio del confronto e del confronto asintotico per gli integrali impropri di funzioni positive. 



5) SERIE NUMERICHE. Somme parziali (o ridotte) n-esime, somma di una serie. Carattere di una serie Serie geometrica. Serie armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. La serie armonica e armonica generalizzata. Serie a termini non negativi: criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio del rapporto e della radice. Serie a termini a segno alterno, criterio di Leibniz. Convergenza assoluta di una serie.



6) EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO) e il problema di Cauchy: definizione di soluzione. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: teoria generale e soluzioni. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: teoria generale, soluzioni delle equazioni omogenee a coefficienti costanti, per le equazioni non omogenee si richiede la soluzione generale solo con suggerimenti atti a trovare la soluzione particolare.