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B005518 - GEOMETRIA E ALGEBRA COMPUTAZIONALE
Principali informazioni
Lingua Insegnamento
Contenuto del corso
Libri di testo consigliati
Obiettivi Formativi
Prerequisiti
Metodi Didattici
Modalità di verifica apprendimento
Programma del corso
Anno Accademico 2023-24
Coorte 2021 - Laurea Triennale (DM 270/04) in MATEMATICA
Anno di corso
Terzo Anno - Secondo Semestre
Dipartimento di Afferenza
Matematica e Informatica "Ulisse Dini"
Tipo insegnamento
Attività formativa monodisciplinare
Settore Scientifico disciplinare
MAT/03 - GEOMETRIA
Crediti Formativi
6
Ore Didattica
48
Periodo didattico
19/02/2024 ⇒ 14/06/2024
Frequenza Obbligatoria
No
Tipo Valutazione
Voto Finale
Contenuto del corso
mostra
Programma del corso
mostra
Docenza
Lingua Insegnamento
Italiano
Contenuto del corso
Le basi di Groebner e l'algoritmo di Buchberger.
L'eliminazione di variabili.
Introduzione alle varietà algebriche
Varietà proiettive.
La dimensione e il suo calcolo.
L'eliminazione di variabili.
Introduzione alle varietà algebriche
Varietà proiettive.
La dimensione e il suo calcolo.
Libri di testo consigliati (Cerca nel catalogo della biblioteca)
D.Cox, J.Little, D.O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, Springer 1992, capp. 1,2,3,4,8,9
Sulla pagina Moodle sono disponibili le note del corso.
Sulla pagina Moodle sono disponibili le note del corso.
Obiettivi Formativi
Introduzione costruttiva alla Geometria Algebrica. Apprendere metodi e tecniche computazionali per trattare polinomi e sistemi di equazioni polinomiali. Calcolo simbolico. Apprezzare le differenze del caso lineare con quello non lineare.
Prerequisiti
Algebra lineare e Geometria Analitica. Polinomi, Gruppi, Anelli e Ideali. Lo spazio proiettivo.
Spazi topologici.
Spazi topologici.
Metodi Didattici
Lezioni frontali. Discussione di esempi ed esercizi. Il corso è accompagnato da esercitazioni al computer, con il software Macaulay2 (M2)
http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/
http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale. E' consigliato sostenere le prove intermedie che saranno svolte presso il Laboratorio di Informatica con esercitazioni su M2. In alternativa, all'esame orale verrà richiesta la presentazione di un elaborato con il software M2, su una serie di esercizi assegnati al termine del corso.
Programma del corso
Le basi di Groebner e l'algoritmo di Buchberger. Richiami sugli anelli noetheriani e teorema della base. Ordini monomiali e algoritmo di divisione. Ideali monomiali e basi di Groebner. Criterio di Buchberger ed algoritmo di Buchberger. Il problema di appartenenza di un elemento a un ideale.
L'eliminazione di variabili. Il teorema di eliminazione. Intersezione di ideali e algoritmo di calcolo, mcm e MCD. Radicale di un ideale.
Introduzione alle varietà algebriche Definizione di varietà algebrica e corrispondenza tra ideali e varietà. Topologia di Zariski. Il teorema degli zeri di Hilbert (NullStellenSatz). Il risultante. Il teorema di estensione. Interpretazione geometrica dell’eliminazione e Teorema di chiusura. Colorabilità di un grafo via basi di Groebner. Parametrizzazione di varietà algebriche. Equazioni parametriche e cartesiane per varietà algebriche.
Varietà proiettive Ideali omogenei e varietà proiettive. Curve algebriche piane. Morfismi di Segre e scoppiamenti. Eliminazione proiettiva, ideali saturati, varietà complete. Il teorema di Bezout.
Il calcolo della dimensione.Teorema di Macaulay. Funzione e polinomio di Hilbert. Dimensione di una varietà algebrica. Il caso zerodimensionale.
Il corso è accompagnato da esercitazioni al computer, con il software Macaulay2 (M2)
http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/
L'eliminazione di variabili. Il teorema di eliminazione. Intersezione di ideali e algoritmo di calcolo, mcm e MCD. Radicale di un ideale.
Introduzione alle varietà algebriche Definizione di varietà algebrica e corrispondenza tra ideali e varietà. Topologia di Zariski. Il teorema degli zeri di Hilbert (NullStellenSatz). Il risultante. Il teorema di estensione. Interpretazione geometrica dell’eliminazione e Teorema di chiusura. Colorabilità di un grafo via basi di Groebner. Parametrizzazione di varietà algebriche. Equazioni parametriche e cartesiane per varietà algebriche.
Varietà proiettive Ideali omogenei e varietà proiettive. Curve algebriche piane. Morfismi di Segre e scoppiamenti. Eliminazione proiettiva, ideali saturati, varietà complete. Il teorema di Bezout.
Il calcolo della dimensione.Teorema di Macaulay. Funzione e polinomio di Hilbert. Dimensione di una varietà algebrica. Il caso zerodimensionale.
Il corso è accompagnato da esercitazioni al computer, con il software Macaulay2 (M2)
http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/