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B005475 - GEOMETRIA I
Principali informazioni
Lingua Insegnamento
Contenuto del corso
Libri di testo consigliati
Obiettivi Formativi
Prerequisiti
Metodi Didattici
Modalità di verifica apprendimento
Programma del corso
Anno Accademico 2015-16
Coorte 2015 - Laurea Triennale (DM 270/04) in MATEMATICA
Anno di corso
Primo Anno - Annualità singola
Dipartimento di Afferenza
Matematica e Informatica "Ulisse Dini"
Tipo insegnamento
Attività formativa monodisciplinare
Settore Scientifico disciplinare
MAT/03 - GEOMETRIA
Crediti Formativi
15
Ore Didattica
150
Periodo didattico
21/09/2015 ⇒ 17/06/2016
Frequenza Obbligatoria
No
Tipo Valutazione
Voto Finale
Contenuto del corso
mostra
Programma del corso
mostra
Docenza
Lingua Insegnamento
Italiano
Contenuto del corso
Lo spazio R^n.
Spazi vettoriali.
Matrici.
Applicazioni lineari.
Applicazioni lineari e matrici.
Determinanti.
Prodotti scalari e ortogonalità.
Matrici e applicazioni bilineari.
Polinomi e matrici.
Triangolazione di matrici e di applicazioni lineari.
Il teorema spettrale.
La forma canonica di Jordan.
Geometria proiettiva.
Geometria affine.
Geometria euclidea.
Coniche e quadriche.
Spazi vettoriali.
Matrici.
Applicazioni lineari.
Applicazioni lineari e matrici.
Determinanti.
Prodotti scalari e ortogonalità.
Matrici e applicazioni bilineari.
Polinomi e matrici.
Triangolazione di matrici e di applicazioni lineari.
Il teorema spettrale.
La forma canonica di Jordan.
Geometria proiettiva.
Geometria affine.
Geometria euclidea.
Coniche e quadriche.
Libri di testo consigliati (Cerca nel catalogo della biblioteca)
Serge Lang, ALGEBRA LINEARE, Bollati Boringhieri
Gareth Williams, LINEAR ALGEBRA with applications, Jones and Bartlett Mathematics
Nigel Hitchin, Projective Geometry (dispense online)
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Obiettivi Formativi
Il Corso intende fornire conoscenze e capacita` tecniche di base in Algebra lineare e Geometria Analitica e Proiettiva. Gli argomenti sviluppati nel Corso e le capacita` tecniche messe a punto sono necessarie, o comunque molto importanti per il proseguimento degli studi.
Prerequisiti
Nessuno
Metodi Didattici
Lezioni frontali, esercitazioni.
Modalità di verifica apprendimento
Prove scritte intermedie, Prova finale scritta e orale.
Programma del corso
Lo spazio R^n. Punti del n-spazio; vettori applicati; prodotto scalare canonico; norma di un vettore; perpendicolarità e parallelismo; distanza; geometria euclidea del n-spazio; rette, piani, iperpiani.
Spazi vettoriali. Insiemi di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti; basi di uno spazio vettoriale; dimensione di uno spazio vettoriale; somme di spazi vettoriali; somme dirette d spazi vettoriali.
Matrici. Lo spazio vettoriale delle matrici; somma e prodotto righe per colonne tra matrici; equazioni lineari; sistemi lineari e matrici; l'algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari.
Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare; dimensione del nucleo e dell'immagine; composizione di applicazioni lineari.
Applicazioni lineari e matrici. Applicazione lineare associata ad una matrice; matrice associata ad un'applicazione lineare; composizione di applicazioni lineari e matrici.
Determinanti. Determinanti del secondo ordine; Proprietà dei determinanti; regola di Cramer; esistenza dei determinanti; unicità; determinante della trasposta di una matrice; determinante di un prodotto di matrici; inversa di una matrice; determinante di un'applicazione lineare.
Prodotti scalari e ortogonalità. Prodotti scalari; prodotti scalari definiti positivi; basi ortogonali nel caso generale; spazio duale; caratteristica di una matrice e sistemi di equazioni lineari.
Matrici e applicazioni bilineari. Forme bilineari; forme quadratiche; operatori simmetrici; operatori hermitiani; teorema di Sylvester.
Polinomi e matrici. Polinomi di matrici e di applicazioni lineari; autovettori e autovalori; polinomio caratteristico.
Triangolazione di matrici e di applicazioni lineari. Ventagli; basi a ventaglio; esistenza delle triangolazioni; teorema di Hamilton Cayley; diagonalizzazione di matrici unitarie.
Il teorema spettrale. Autovettori di applicazioni lineari simmetriche; il teorema spettrale; il caso complesso.
La forma canonica di Jordan. Autospazi generalizzati relativi ad un applicazione lineare; forma canonica di Jordan per un'applicazione nilpotente; base di Jordan per un'applicazione nilpotente; base di Jordan e forma canonica di Jordan per un'applicazione lineare.
Geometria proiettiva. Spazi proiettivi; sottospazi proiettivi; il gruppo delle trasformazioni proiettive; punti in posizione generica; teorema di Desargues; teorema di Pappo; dualità.
Quadriche. Forme quadratiche; coniche e quadriche; polarità associata ad una conica; classificazione proiettiva delle coniche; fasci di coniche.
Geometria affine. Il piano affine e lo spazio affine; il gruppo delle affinità; classificazione affine delle coniche.
Geometria euclidea. Il gruppo delle isometrie; classificazione euclidea delle coniche.
Esercizi ed esempi.
Spazi vettoriali. Insiemi di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti; basi di uno spazio vettoriale; dimensione di uno spazio vettoriale; somme di spazi vettoriali; somme dirette d spazi vettoriali.
Matrici. Lo spazio vettoriale delle matrici; somma e prodotto righe per colonne tra matrici; equazioni lineari; sistemi lineari e matrici; l'algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari.
Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare; dimensione del nucleo e dell'immagine; composizione di applicazioni lineari.
Applicazioni lineari e matrici. Applicazione lineare associata ad una matrice; matrice associata ad un'applicazione lineare; composizione di applicazioni lineari e matrici.
Determinanti. Determinanti del secondo ordine; Proprietà dei determinanti; regola di Cramer; esistenza dei determinanti; unicità; determinante della trasposta di una matrice; determinante di un prodotto di matrici; inversa di una matrice; determinante di un'applicazione lineare.
Prodotti scalari e ortogonalità. Prodotti scalari; prodotti scalari definiti positivi; basi ortogonali nel caso generale; spazio duale; caratteristica di una matrice e sistemi di equazioni lineari.
Matrici e applicazioni bilineari. Forme bilineari; forme quadratiche; operatori simmetrici; operatori hermitiani; teorema di Sylvester.
Polinomi e matrici. Polinomi di matrici e di applicazioni lineari; autovettori e autovalori; polinomio caratteristico.
Triangolazione di matrici e di applicazioni lineari. Ventagli; basi a ventaglio; esistenza delle triangolazioni; teorema di Hamilton Cayley; diagonalizzazione di matrici unitarie.
Il teorema spettrale. Autovettori di applicazioni lineari simmetriche; il teorema spettrale; il caso complesso.
La forma canonica di Jordan. Autospazi generalizzati relativi ad un applicazione lineare; forma canonica di Jordan per un'applicazione nilpotente; base di Jordan per un'applicazione nilpotente; base di Jordan e forma canonica di Jordan per un'applicazione lineare.
Geometria proiettiva. Spazi proiettivi; sottospazi proiettivi; il gruppo delle trasformazioni proiettive; punti in posizione generica; teorema di Desargues; teorema di Pappo; dualità.
Quadriche. Forme quadratiche; coniche e quadriche; polarità associata ad una conica; classificazione proiettiva delle coniche; fasci di coniche.
Geometria affine. Il piano affine e lo spazio affine; il gruppo delle affinità; classificazione affine delle coniche.
Geometria euclidea. Il gruppo delle isometrie; classificazione euclidea delle coniche.
Esercizi ed esempi.